Question

 如图，在五面体P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2， PB=，PD=。

（1）求证：BD⊥平面PAD；

（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小。

 

Answer

 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，

得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60° =4+16-2×2×4×=12。∴AB2=AD2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，即AD⊥BD。

在△PDB中，PD=，PB=，BD=，

∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD。

又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD。

（2）∵BD⊥平面PAD，BD平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD。

作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，

∴∠PDE是PD与底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，

∴PE=PDsin60°=·=。

作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角。

又EF=BD=，∴在Rt△PEF中，

tan∠PFE===。

故二面角P—BC—A的大小为arctan。