Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点。

（1）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；

（2）求证：MN⊥平面PCD；

（3）当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围。

 

Answer

 （1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD。

故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角。

在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°。

（2）如图，取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，

∴EN∥CD∥AB  ∴AMNE是平行四边形   ∴MN∥AE。

在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线。   ∴AE⊥PD。

又CD⊥AD，CD⊥PD  ∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AE，

又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD。  ∴MN⊥平面PCD。

（3）∵AD∥BC，∴∠PCB为异面直线PC，AD所成的角。

由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x(x>0)。∴tan∠PCB==。

又∵∈（0，∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）。

又∠PCB为锐角，∴∠PCB∈（，），

即异面直线PC，AD所成的角的范围为（，）。