Question

 如图，设正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E在棱A₁A上，A₁C∥截面EBD， 若AB = 1，截面EBD的面积. 

（1）求A₁C与底面ABCD所成的角的大小；

（2）若AC与BD相交于M，T是C₁C上一点，且MT⊥BE，求的值. 

Answer

 （1）连EM，则EM⊥BD，由知

        ∴ 由

        得

        又 A1C∥面EBD  ∴ A1C∥EM

        而M是AC的中点，故E也是AA1的中点

        因此A1C=2EM=2 ………………………………………………………    3分

        易知A1C与平面ABCD所成的角就是∠A1CA 

        这里，则∠A1CA=45°

        ∴ A1C与底面ABCD所成角的大小为45°………………………… 6分

   （2）由三垂线定理知MT⊥BD，又MT⊥BE 

        ∴ MT⊥面EBD 又 ME面EBD

        ∴ MT⊥ME ……………………………………………………………    9分

        由（1）知：四边形ACC1A1是正方形

        ∴ AC1⊥ME

        ∴ MT∥AC1 

        因此： ………………………………………………… 12分