椭圆C的中心为原点，右焦点F（，0），以短轴的两端点及F为顶点的三角形恰为...

椭圆C的中心为原点，右焦点F（，0），以短轴的两端点及F为顶点的三角形恰为等边三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C内的一点P（0，）作直线l交椭圆C于M、 N，求MN中点Q的轨迹方程；

（3）在（2）条件下，求△OMN的面积最大值.

（1）设椭圆C的标准方程为， ∵ 右焦点为F（，0） ∴ 又∵ △B1FB2为正三角形 ∴ 结合得， ∴ 椭圆C的标准方程是 ………………………………… 4分（2）设Q（x，y），M（，），N（，）当直线l的斜率存在时，直线l的方程为代入得 ∴ ， …………………… 6分 ∴ 消去k得 …………………………… 8分又∵ k不存在时，点Q为（0，0）也满足上述方程， ∴ 线段MN的中点Q的轨迹方程是 ……… 9分（3）由（2）知，M（，），N（，），直线l的方程为代入得 ∴ ， ∴ ………………………………………………… 11分又∵ 原点O到直线l的距离为 ∴ ……………… 12分设 ∴ ∴ △OMN面积的最大值为 ……………………………………… 14分

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考点分析：

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6ec8aac122bd4f6e 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD = AB = 2，E是PB的中点，F是AD的中点.