Question

 设，．

（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当时，恒有．

Answer

 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分。

（Ⅰ）【解析】
根据求导法则有，

故，

于是，

列表如下：

2

0

极小值

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值。

（Ⅱ）证明：由知，的极小值。

于是由上表知，对一切，恒有。

从而当时，恒有，故在内单调增加。

所以当时，，即。

故当时，恒有。