Question

 某地区有三座工厂分别位于△ABC的三个顶点，已知、. 为了处理三个工厂的污水，现要在△ABC区域内（不包括边界）且与B、C等距的一点O处建立一个污水处理厂，并铺设排污管道OA、OB、OC.

（1）设，若要使排污管道总长不超过11 km，求x的取值范围；

（2）设，当排污管道总长取最小值时，求的值.

Answer

 （1）设BC中点为D，由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上

        km

        设，则 ………………………………………………… 2分

        由知

         ………………………………………………… 3分

        即

        平方化简有：…………………………………………… 5分

                      又 

        故………………………………………………………………… 6分

   （2）设，则、

        ∴

        则……………………………… 8分

        令得

        故，又，故………………………………………… 10分

        则

        此时有：，即

         得

        又，故

        故…………………………………………………………………… 12分

       （若由（1）知得平方化为x的二次方程得亦可。）