Question

已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于．两点，设，，求的最大值．

Answer

（本小题主要考查圆．抛物线．基本不等式等知识，考查数形结合．化归与转化．函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

   （1）【解析】
设，则，

∵，

∴．

即，即，

所以动点的轨迹的方程．

   （2）【解析】
设圆的圆心坐标为，则．          ①

圆的半径为．

圆的方程为．

令，则，

整理得，．                            ②

由①．②解得，．

不妨设，，

∴，．

∴

        ，                     ③

 当时，由③得，．

当且仅当时，等号成立．

当时，由③得，．

故当时，的最大值为．

选修4－1：几何证明选讲