Question

在长方体中，点是上的动点，点为的中点.

（Ⅰ）当点在何处时，直线//平面，并证明你的结论；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，求二面角的大小.

Answer

（Ⅰ）当为的中点时,

∥平面.     …………………2分

证明：取的中点N，连结MN、AN、，

MN∥，AE∥，

 四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN

在平面内∥平面.  ………………5分

（方法二）延长交延长线于，连结.

∥，又为的中点,

∥平面∥平面.

（Ⅱ）当为的中点时，, ,又,

可知,所以,平面平面,

所以二面角的大小为；…………………7分

又二面角的大小为二面角与二面角大小的和，

只需求二面角的大小即可；

过A点作交DE于F，则平面,，

过F作于H，连结AH，

则AHF即为二面角的平面角，          …………………………9分

，，，

所以二面角的大小为．   …………………………12分

向量法：以为原点，建立如图空间坐标系，

则……7分

设平面的一个法向量为，

因为

所以即令，所以，

同理可求平面的一个法向量，………………10分

所以=，

所以二面角的大小为．…………………12分