Question

已知动圆经过点，且与圆内切.

（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹的方程.

（Ⅱ）以为方向向量的直线交曲线于不同的两点，在曲线上是否存在点使四边形为平行四边形（为坐标原点）.若存在，求出所有的点的坐标与直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

 解:（Ⅰ）依题意，动圆与定圆相内切，得|，可知到两个定点、的距离和为常数，并且常数大于，所以点的轨迹为椭圆，……………2分

可以求得，，，

所以曲线的方程为．……………………………………………5分

（Ⅱ）假设上存在点，使四边形为平行四边形．

由 （Ⅰ）可知曲线E的方程为.

设直线的方程为，，.

由，得，

由得，且，，………………………7分

则，

，

  上的点使四边形为平行四边形的充要条件是，

即， 且，

又， ，所以可得，…………9分

可得，即或．

当时，，直线方程为；

当时，，直线方程为．……………………12分