Question

 如下图所示，正边长为，为边上的高，分别为 和边上的点，且满足，，现将沿翻折成直二面角.

（Ⅰ）试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由;

（Ⅱ）求二面角的正切值.

Answer

 解（1）平面，在中，因为分别是上的点，

且满足        ∴     ∵平面，平面

∴平面。                                                 （6分）

（2）过作，连接，∵平面 ∴

    ∴ 就是二面角的平面角。                      （8分）

    ∵                   ∴

        ∴二面角的正切值为        （12分）

解法Ⅱ（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系

    则             

       设为平面的一个法向量。

由       得        ∴

令，则      ∴

为平面的一个法向量。                              （8分）

∴      

于是     即二面角正切值为                   （12分）