Question

 已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₂的动直线与双曲线相交于A、B两点

（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程

（Ⅱ）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

 （文）【解析】
（1）由条件可知：    

代入所给递推公式得 

整理得 又                

∴为首项与公比均为的等比数列  ∴                     （6分）

(2)    ∵  ∴  即     （9分）

又

        ∴    即        （12分）

（理）解(1)设      则   

             由

得    即                           （2分）

于是的中点的坐标为 当不与轴垂直时

∵在双曲线上      ∴  ①          ②

①-②得  ∴                               （4分）

∵        ∴

化简得      当与轴垂直时， 求得也满足上述方程       ∴点的轨迹方程是                      （6分）

 (2)假设在轴上存在定点,使为常数.

当不与轴垂直时设的方程为,  代入

有则     

于是

                      （10分）

因为是与无关常数,所以   即此时

当与轴垂直时点，  点此时故在轴上存在定点,使为常数.                                              （12分）