Question

 设函数且其中为自然对数的底数。

    （Ⅰ）求与的关系；（Ⅱ）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

    （Ⅲ）设，若在上至少存在一点，使成立。求实

数的取值范围。

Answer

 （文）解(1)设    

则     

             由

得    即                           （2分）

于是的中点的坐标为 当不与轴垂直时

∵在双曲线上      ∴  ①          ②

①-②得  ∴   （4分）  ∵       ∴

化简得      当与轴垂直时， 求得也满足上述方程       ∴点的轨迹方程是          （6分）

 (2)假设在轴上存在定点,使为常数.

当不与轴垂直时设的方程为,  代入

有则     

于是

                      （10分）

因为是与无关常数,所以   即此时

当与轴垂直时点，  点此时故在轴上存在定点,使为常数.                                              （12分）

（理）【解析】
（1）由题意得

∴ 而     ∴ 即                （3分）

（2）由（1）知

   ，令         （5分）

要使在内单调，只需在内，满足或恒成立

①  当时，合题意

②当时，        只需即，合题意

③当时，只需      即，合题意。

综上所述，的范围为或。                                 （7分）

（3）∵在上是减函数。     ∴   ∴

①当时，由（2）知在上递减， 不合题意

②当时，由 ∴     由（2）知当在上增函数。∴  不合题意

③当时，由（2）知，在上增函数。

又∵在上是减函数，故只需         （9分）

而           

∴       解得 

综上的取值范围                                        （12分）