Question

 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB = 4，CD = 2，等腰梯形的高为3，O为AB中点，PO⊥平面ABCD，垂足为O，PO = 2，EA∥PO．

    （1）求证：BD⊥平面EAC；

    （2）求二面角E—AC—P的平面角的余弦值．

Answer

 【解析】（1）证：如图，取CD中点M，以AB中点O为坐标原点，OA、OM、OP为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则A (2，0，0)，B (–2，0，0)，C (–1，3，0)，D (1，3，0)，…………2分

．

∴BD⊥AC．…………4分

∵AE∥PO，PO⊥平面ABCD，∴AE⊥平面ABCD得BD⊥AE，∴BD⊥平面EAC．…………6分

（2）P (0，0，2)，= (–2，0，2)，设平面PAC的一个法向量，

由得设x = 1得．=（3，3，0）是平面EAC的一个法向量

…………………………9分

故二面角E—AC—P的余弦值

………12分