Question

 已知等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）试确定的值，使得数列为等差数列；

（3）当为等差数列时，对任意正整数，在与之间插入2共个，得到一个新数列．设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数的值。

Answer

 【解析】（1）因为,所以，解得（舍），则………………3分

又，所以  …………4分

（2）由，得，

所以,

则由，得

而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列…8分

（3）因为，易知不合题意，适合题意………………9分

当时，若后添入的数2 = cm + 1，则一定不适合题意，从而cm + 1必是数列中的某一项，则

 即．

也就是，

易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，成立，证明如下：

    1°当n = 5时，，左边＞右边成立；

    2°假设n = k时，成立，

当n = k + 1时，

≥（k+1）2+（k+1）–1+5k–k–3=（k+1）2+（k+1）–1+k+3(k–1)

＞（k+1）2+（k+1）–1

    这就是说，当n=k+1时，结论成立．

由1°，2°可知，时恒成立，故无正整数解．

综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．…………13分