Question

已知函数，，且）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，关于的方程有唯一解，求a的值.

Answer

 【解】 （1）由已知得x＞0且．

当k是奇数时，，则f(x)在(0,+)上是增函数;       ……………3分

当k是偶数时，则.     ……………………5分

所以当x时，，当x时，.

故当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数．………………7分

（2）若，则.

记g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax, ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；     …………………………9分

令,得.因为，

所以（舍去），.  ……………………11分

当时，，在是单调递减函数；

当时，，在上是单调递增函数．

当x=x2时, ，.        …………………………12分

因为有唯一解，所以.

则 即    …………………………13分

两式相减得因为a>0，所以.……14分

设函数，

因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．

因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得…………15分