Question

 如图，在正方体的上底面上叠放三棱柱

，该几何体的正视图与左视图如右图所示.

（Ⅰ）若，求实数的值；

（Ⅱ）在（I）的条件下：

① 证明平面；

②求直线与平面所成角的正弦值

Answer

 本题主要考查三视图，直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，以及运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想

【解析】
（Ⅰ）分别以DA、DC、DM为、y、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B1

（1，1，1），A1（1，0，1），C（0，1，0），D1（0，0，1），M（0，0，1+），

N（0，1，1+）.

=（1，1，1），=（－1，0，）.

∵⊥，

∴·=0    －1+a=0    =1. ---------------------4分

（Ⅱ）①=（－1，1，－1），=（0，1，1），=（1，0，1）.

∵·=0， ·=0，

∴⊥， ⊥，又ND1NB1=N.

∴A1C⊥平面NB1D1.                ----------------------------8分

②设平面A1B1NM的法向量为=（x、y、z），

    ·=0             y=0

·=0         x－z=0 .

          取=（1，0，1），又=（1，1，1），

cos<·>=.

设直线DB1与平面A1B1NM所成角为θ，

则sinθ=sin（－<·>）

   =cos<·>=.----------------------------13分