Question

 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）选修4-2：矩阵与变换

已知向量=，变换T的矩阵为A=，平面上的点P（1，1）在变换T

作用下得到点P′（3，3），求A⁴.

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

直线与圆（>0）相交于A、B两点，设

P（－1，0），且|PA|:|PB|=1:2，求实数的值

（3）选修4-5：不等式选讲

对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥²+²恒成立，试求2+的最大值。

Answer

 （1）选修4-2：矩阵与变换

本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力

法1：=     即    =2，

故A= .             ------------------------------------ 2分

由λ1=－1，λ2=3.

当λ1=－1时，矩阵A的特征向量为=.

当λ2=3时，矩阵A的特征向量为=. -----------------------------4分

故A4 =A4（+2）

=A4+2A4

=(－1)4 +2·34

=.          ------------------------------------7分

法2：由=,

即       ，

故A=.             ------------------------------------2分

A2=，

A3=，

A4 ， ------------------------------------5分

A4=. -----------------------------------7分

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

本题主要考查直线的参数方程，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力.

法1：直线参数方程可化为：y=(x+1) --------------------------------1分

联立方程   ，

消去，得：4+6+3－r=0 . ------------------------------------2分

设A（x1，y1）、B（x2，y2）（不妨设x10 ， …………①

x1+x2=，             …………②

x1·x2=，               …………③-----------------------------------3分

，   …………④-----------------------------------5分

由①②③④解得=3.          -----------------------------------7分

法2：将直线参数方程代入圆方程得

t2－t+1－=0            -----------------------------------1分

设方程两根为t1、t2，则

Δ=1－4（1－）>0   >.

t1+t2=1，t1·t2=1－ .…………（*）-----------------------------------3分

由参数t的几何意义知

 或.    ---------------------------5分

由，解得=3，

由，代入（*）得=3，

故所求实数r的值为3.         -----------------------------------7分

（3）选修4-5：不等式选讲

本题主要考查柯西不等式、绝对值不等式及其应用，考查推理论证与运算求解能力

【解析】
|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|=1 , -------------2分

故2+2≤1.

(2+)2 ≤(22+12)( 2+2) ≤5. ---------------------------------4分

由       ,

即取=，时等号成立. --------------------------------6分

故(2+)max=.          -----------------------------------7分