Question

 本题有3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题9分．

已知定义在上的函数和数列满足下列条件：

    ，，当且时，且．

其中、均为非零常数．

（1）若数列是等差数列，求的值；

（2）令，若，求数列的通项公式；

（3）试研究数列为等比数列的条件，并证明你的结论．

说明：对于第3小题，将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性，给予不同的评分。

Answer

 （1）由已知，，得

由数列是等差数列，得

所以，，，得．………………………5分

（2）由，可得

且当时，

所以，当时，

，………………………4分

因此，数列是一个公比为的等比数列．…………………………………………1分

（3）解答一：写出必要条件，如，由（1）知，当时，数列是等差数列，

所以是数列为等比数列的必要条件． ………………………………3分

解答二：写出充分条件，如或等，并证明 ……………… 5分

解答三：是等比数列的充要条件是……………………2分

充分性证明：

若，则由已知，得

所以，是等比数列．……………………………………………………………2分

必要性证明：若是等比数列，由（2）知，

，

． …………………………………………1分

当时，．

上式对也成立，所以，数列的通项公式为：

．

所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列．

所以，．……………………………………………………………………1分

当时，．  

上式对也成立，所以，

……………………1分

所以，．  …………………………………………1分

即，等式对于任意实数均成立．

所以，．……………………………………………………………1分