Question

已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，，分别是的中点．

   （Ⅰ）证明：平面；

   （II）求二面角M—AN—B的余弦值。      

Answer

 解法一：依条件可知AB、AC，AA1两两垂直，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（0，2，0），C(-1,0,0),, ……2分

  （I）证明：是平面ACCA1的一个法向量，

且所以   ……5分

又，       ………………6分

   （II）设是平面AMN的法向量，

因为，

由    得

解得平面AMN的一个法向量   ………………9分

由已知，平面ABC的一个法向量为   ………………10分

   ………………12分

解法二：（I）证明：设AC的中点为D，连结DN，A1D

∵D，N分别是AC，BC的中点，∴   ………………2分

∴A1D//MN   ………4分

   ………………6分

   （II）如图，设AB的中点为H，连结MH，

∴MH//BB1

∵BB1⊥底面ABC，

∵BB1⊥AC，BB1⊥AB，

∴MH⊥AC，AH⊥AB

∴AB∩AC=A

∴MH⊥底面ABC   ………………7分

在平面ABC内，过点H做HG⊥AN，垂足为G

连结MG，AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H

∴AN⊥平面MHG，则AN⊥MG

∴∠MGH是二面角M—AN—B的平面角   ………………9分

∵MH=BB1=2，

由△AGH∽△BAC，得

所以所以

   ………………12分