Question

 已知函数（，实数，为常数）．

（1）若（），且函数在上的最小值为0，求的值；

（2）若对于任意的实数，，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大值h(n)．

Answer

 【解析】
（1）当时，．  

则．

令，得（舍），．

    ①当>1时，

1

-

0

+

↘

↗

∴当时, ．

令，得．   

②当时，≥0在上恒成立，

在上为增函数，当时, ．

 令，得（舍）．

   综上所述，所求为．      

(2) ∵对于任意的实数，，在区间上总是减函数，

则对于x∈(1,3)，＜0，   

∴在区间[1,3]上恒成立．         

设g(x)=，

∵，∴g(x)在区间[1,3]上恒成立．

由g(x)二次项系数为正，得

   即 亦即   

∵ =，

∴ 当n＜6时，m≤，

当n≥6时，m≤，                

∴ 当n＜6时，h(n)= ，

当n≥6时，h(n)= ，                             

即