Question

 已知双曲线： 的右焦点是，右顶点是，虚轴的上端点是，且，.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线交双曲线于、两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合）.当，且时，求点的坐标.

Answer

 【解析】
（1）由条件知，，。

        ①

           ②

解 ①② 得 ，。则，

故双曲线的方程为。               …………………… 分

（2）由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程为：，，，则.

∵ ， ∴

  ∴     。 …………………… 分

∵ 在双曲线上， ∴ ，

∴ 。

同理 。      …………………… 分

若，则直线过顶点，不合题意，    ∴ 。………分

∴ 、是二次方程  的两根。

∴ ，

∴ ，此时， ∴.

∴ 所求点的坐标为.                 ……………………  分