Question

 已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线 的焦点重合．

   （1）求椭圆C的方程；

   （2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

 【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为，离心率，，抛物线的焦点为，所以，椭圆C的方程是x2+=1. …………（4分）

   （Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．

由解得即两圆相切于点（1，0）．

因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．…………（6分）

事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+）．

由即（k2+2）x2+k2x+k2-2=0.

记点A（x1,y1）,B（x2,y2）,则…………（9分）

又因为=（x1-1, y1）, =（x2-1, y2）,

·=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（x1-1）（x2-1）+k2（x1+）（x2+）

=（k2+1）x1x2+（k2-1）（x1+x2）+k2+1

=（k2+1） +（k2-1） + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．

所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件． …………（13分）