Question

   如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、 ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形.

（1）   求证：AD^BC;

（2）   求二面角B－AC－D的大小;

（3）   在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由 

Answer

 解法一：

（1）   取BC的中点O，连AO、DO

则有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD

\BC^AD………………3分

（2）   作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，则ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，………………4分

因为AB＝AC＝BC＝

\M是AC的中点，且MN¤¤CD，

则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，………………6分

由余弦定理可求得cosÐBMN＝

\ÐBMN＝arccos………………7分

（3）   设E是所求的点，作EF^CBD于F，连FD

\ ÐEDF就是ED与面BCD所成的角，………………8分

则ÐEDF＝30°  设EF＝x，则CF＝x，FD＝，………………10分

\tanÐEDF＝＝＝

解得x＝，则CE＝x＝1

故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30°角  ………………12分

解法二：此题也可用空间向量求解，解答略