Question

 如图,在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中,

AD//BC, ∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=4.

AD=2,AB=,BC=6.

(1)求证:BD⊥平面PAC;

(2)求二面角A—PC—D的大小.

Answer

 解法一:(1)∵PA⊥平面ABCD, BD平面ABCD,  ∴BD⊥PA.       ……2分

   又，

∴∠ABD=30,°∠BAC=60° ∴∠AEB=90°，即BD⊥AC   ……4分

               又PAAC=A, ∴BD⊥平面PAC.                      ……6分

            (2)过E作EF⊥PC,垂足为F,连结DF,

               ∵DE⊥平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂线定理知PC⊥DF,

∴∠EFD为二面角A—PC—D的平面角.                ……9分

又∠DAC=90°—∠BAC=30°

∴DE=ADsin∠DAC＝1，AE＝ABsin∠ABE＝，

又AC＝， ∴EC=, PC=8.

由Rt△EFC∽Rt△PAC得

在Rt△EFD中,，

∴.

∴二面角A—PC—D的大小为.            ……13分

    解法二:(1)如图,建立坐标系,则

    ……2分

∴，

∴，     ……4分

∴BD⊥AP, BD⊥AC, 又PAAC=A

∴BD⊥平面PAC.

           (2)设平面PCD的法向量为,

则,  ……6分

又,

∴, 解得   

∴                              ……8分

平面PAC的法向量取为,        ……10分

∴二面角A—PC—D的大小为.             ……13分