Question

如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

（1）求证：AB平面PCB；

（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；

（3）求平面PAC和平面PAB所成锐二面角的余弦值.

Answer

解法一(1)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．……(2分)

∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．……………(3分)

又，∴AB平面PCB．  ……………………(4分)

(2)过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．

则为异面直线PA与BC所成的角．………(6分)

由（1）可得AB⊥BC，∴CFAF．

由三垂线定理，得PFAF．

则AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴异面直线PA与BC所成的角为．…………………………………(8分)

（3）取AP的中点E，连结CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得  DE PA．

∴为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………(10分)

由(1) AB平面PCB，又∵AB=BC，可得BC=．

    在中，PB=，．

在中，

sin∠CED=．     ……(12分)

解法二：（1）同解法一．

(2) 由(1) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B为原点，如图建立坐标系．

则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

…………………(7分)

    则+0+0=2．

        == ．

   ∴异面直线AP与BC所成的角为．………………………(8分)

（3）设平面PAB的法向量为．

，，

则   即解得   令= -1,  得 = (，0，-1)．

   设平面PAC的法向量为=()．，，

 则   即解得   令=1, 得 n= (1，1，0)．

    =．………………(12分)