Question

 双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为，相应于焦点F（c,0）（c＞0）的准线与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|,过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若=0，求直线PQ的方程.

Answer

 解．（1）由题意，设曲线的方程为= 1（a＞0,b＞0）

由已知 解得a = ，c = 3所以双曲线的方程为= 1… (6分)

（2）由（1）知A（1，0），F（3，0），

      当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x = 3 .此时,≠0,应舍去.

      当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y =k ( x – 3 ).

        由方程组 得

        由于过点F的直线与双曲线交于P、Ｑ两点， 则－２≠０，即k≠，

    由于△＝36-4(-2)(9+6)=48(+1)＞0即k∈R.

        ∴k∈R且k≠（*） ………………………(８分)

        设Ｐ（，），Ｑ（，），则

         由直线PQ的方程得= k（-3），= k（-3）

        于是=（-3）（-3）=[-3（+）+ 9]  （3）

        ∵ = 0，∴（-1，）·（-1，）= 0

        即-（+）+ 1 + = 0     （4）

        由（1）、（2）、（3）、（4）得

        = 0

        整理得=，∴k = 满足（*）

        ∴直线PQ的方程为x - -3 = 0或x +-3 = 0………(13分)