Question

如图，平面PCMB⊥平面ABC，∠PCB = 90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC = 1，BC = 2PM = 2，∠ACB = 90°．

(1) 求证：AC⊥BM；

(2) 求二面角M－AB－C的大小．

Answer

 方法一：

(1) ∵ 平面PCMB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC平面ABC

∴ AC⊥平面PCMB

又∵ BM平面PMBC

∴ AC⊥BM   5分

    (2) 取BC中点N，则CN = 1，连结AN、MN

∵ 平面PCMB⊥平面ABC，平面PCBM平面ABC = BC，PC⊥BC

∴ PC⊥平面ABC

∵   ∴

∴ MN⊥平面ABC

作NH⊥AB于H，连结MH，则由三垂线定理知，AB⊥MH

从而∠MHN为二面角M－AB－C的平面角

∵ 直线AM与直线PC所成的角为60°

∴ ∠AMN = 60°

在△ACN中，由勾股定理得

在Rt△AMN中，

在Rt△BNH中，

在Rt△MNH中，

故二面角M―AB―C的大小为 8分

   方法二：

(1) 同方法一    5分

(2) 如图，以C为原点建立空间直角坐标系C－xyz

设P（0，0，Z0）（Z0 > 0），有B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，Z0）

=（–1，1，Z0），=（0，0，Z0）

由直线AM与直线PC所成的角为60°，得

即，解得

∴ =（–1，1，），=（–1，2，0）

设平面MAB的一个法向量为n =（x1，y1，z1）

则，解n =（4，2，）

取平面ABC的一个法向量为m =（0，0，1）

则

故二面角M―AB―C的大小为 8分