Question

如图1，E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD的中点，G是EF上的一点，将△GAB、△GCD分别沿AB、CD翻折成△G₁AB、△G₂CD，并连接G₁G₂，使平面G­₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂∥AD，且G₁G₂＜AD，连结BG₂如图2．

(1) 证明平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；

(2) 当AB = 12，BC = 25，EG = 8时，求直线BG₂与平面G₁ADG₂成角．

 

Answer

 解法一：

(1) ∵ 平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB平面ABCD = AB，AD⊥AB，AD平面ABCD

   ∴ AD⊥平面G1AB

   又∵AD平面G1ADG2

∴ 平面G1AB⊥平面G1ADG2 5分

(2) 过点B作BH⊥AG1于点H，连接G2H，由(1)的结论可知，BH⊥平面G1ADG2

∴ ∠BG2H是BG2和平面G1ADG2所成的角

∵ 平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB平面ABCD = AB，

G1E⊥AB，G1E平面G1AB

∴ G1E⊥平面ABCD，故G1E⊥EF

∵ G1G2 < AD，AD = EF

∴ 可在EF上取一点O，使EO = G1G2

又∵ G1G2∥AD∥EO

∴ 四边形G1EOG2是矩形

由题设AB = 12，BC = 25，EG = 8，则GF = 17

∴ G2O = G1E = 8，G2F = 17，，G1G2 = EO = 10

∵ AD⊥平面G1AB，G1G2∥AD

∴ G1G2⊥平面G1AB，从而G1G2⊥G1B

故，

又，由得

故

即直线BG2与平面G1ADG2所成的角是   7分

解法二：

(1) ∵ 平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB平面ABCD = AB，

G1E⊥AB，G1E平面G1AB

   ∴ G1E⊥平面ABCD，从而G1E⊥AD

   又∵ AB⊥AD

∴ AD⊥平面G1AB

∵ AD平面G1ADG2

∴ 平面G1AB⊥平面G1ADG2 5分

(2) 由(1)可知，G1E⊥平面ABCD，故可以E为原点，分别以直线EB、EF、EG1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题设AB = 12，BC = 25，EG = 8，则EB = 6，EF = 25，EG1 = 8，相关各点的坐标分别是A（–6，0，0），D（–6，25，0），G1（0，0，8），B（6，0，0），所以=（0，25，0），=（6，0，8）

设n =（x，y，z）是平面G1ADG2的一个法向量

由，故可取n =（4，0，–3）

过点G2作G2O⊥平面ABCD于点O，因为G2C = G2D，

∴ OC = OD，于是点O在y轴上

因为G1G2∥AD，所以G1G2∥EF，G2O = G1E = 8

设G2（0，m，8）（0 < m < 25），由解得m = 10

∴ =（0，10，8）－（6，0，0）=（– 6，10，8）

设BG2和平面G1ADG2所成的解是，

则

故直线BG2与平面G1ADG2所成的角是   7分