Question

已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是面积为的菱形，为锐角，侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，且A₁B＝AB＝A A₁＝1．

（Ⅰ）求证：AA₁⊥BC₁； 

（Ⅱ）求A₁到平面ABC的距离； 

（Ⅲ）求二面角B－AC－C₁的余弦值．

Answer

 （Ⅰ）证明：作C1O⊥AA1，连接BO    ………………1分

∵菱形AA1C1C面积为， 又AA1＝1

∴   ………………2分 

在△A1ＯC1中，AA1=1

，为锐角

∴，又AA1 = A1C1

∴△AA1C1是等边三角形，且C1O⊥AA1

∴O是AA1的中点

又A1B＝AB  ∴BO⊥AA1           ………………3分

又C1O∩BO = O．

∴AA1⊥面BOC1，………………4分      

又BC1Ì面BOC1．

∴AA1⊥BC1                             ………………5分

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知C1O⊥AA1 ，BO⊥AA1   

∵平面ABB1A1⊥平面AA1C1C，

∴BO⊥平面AA1C1C，C1OÌ平面AA1C1C

BO⊥C1O

∴OA、OC1、OB两两垂直，       ……………6分

以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则：

， ， ， ，．…………7分

，．      

设是平面ABC的一个法向量，  

则     即

令，则．    ………………………9分

设A1到平面ABC的距离为d． ，

∴．     ………………10分 

（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，……………11分

又平面ACC1的一个法向量．          ………………12分

∴．          ………………13分

∴二面角B－AC－C1的余弦值是．               ……………14分