Question

已知抛物线C₁:y²=4x的焦点与椭圆C₂:的右焦点F₂重合，F₁是椭圆的左焦点；

（Ⅰ）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y²=4x上运动，求ABC重心G的轨迹方程；

（Ⅱ）若P是抛物线C₁与椭圆C₂的一个公共点，且∠PF₁F₂=，∠PF₂F₁=,求cos的值及PF₁F₂的面积。

Answer

 【解析】
（Ⅰ）设重心G(x,y)，则  整理得将(*)式代入y2=4x中，得(y+1)2=  ∴重心G的轨迹方程为(y+1)2=.……………6分

(Ⅱ)  ∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y2=4x得F2(1,0)，∴b2=8，椭圆方程为。设P(x1,y1)，由得，∴x1=，x1=-6(舍).∵x=-1是y2=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1。

设点P到抛物线y2=4x的准线的距离为PN，则︱PF2︱=︱PN︱.

又︱PN︱=x1+1=,∴.

过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，在Rt△PP1F1中，cosα=在Rt△PP1F2中，cos(л-β)=,cosβ=,∴cosαcosβ=。

∵x1=,∴∣PP1∣=,∴.………………12分