Question

 已知数列满足：，

（I）求的值；

（II）设，试求数列的通项公式；

（III） 对任意的正整数，试讨论与的大小关系.

Answer

 【解析】
（Ⅰ）∵ ，，，，

∴ ；；.   ………………3分

（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数，都有：，

∴ .∴ 数列是以为首项，为公差的等差数列.

∴ .       …………………………………………………………6分

（Ⅲ）对于任意的正整数，

当或时，；

当时，；

当时，.      ……………………………………8分

证明如下：

首先，由可知时，；

其次，对于任意的正整数，

时，；

…………………9分

时，

所以，.                             …………………10分

时，

事实上，我们可以证明：对于任意正整数，（*）（证明见后），所以，此时，.

综上可知：结论得证.                                

对于任意正整数，（*）的证明如下：

1）当（）时，

，

满足（＊）式。

2）当时，，满足（＊）式。

3）当时，

于是，只须证明，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是（＊）得证.

                                                            …………………12分