Question

设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）设，整数．证明：．

Answer

 解析：

（Ⅰ）证明：，

故函数在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.故，即时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.

 （Ⅲ）证明：若存在，则由知命题成立。

若对于任意，均有，则

 …………..(1)

,故，又因，即

所以（1）可化为。

故。