Question

如图，四棱锥的底面是矩形，

底面，P为BC边的中点，SB与

平面ABCD所成的角为45°，且AD=2，SA=1．

（1）求证：平面SAP；

（2）求二面角A－SD－P的大小.  

Answer

 证明：（1）因为底面，

所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………….……….1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，……………………….2分

又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以．………….…….3分

因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,

所以SA⊥PD,                …………….……………………….…....4分

由于SA∩AP=A     所以平面SAP．…………………………….5分

（2）设Q为AD的中点,连结PQ,       ………………….………6分

由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD….7分

因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD

过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,

由三垂线定理可知PR⊥SD,

所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角. …9分

容易证明△DRQ∽△DAS,则

因为DQ= 1，SA=1，，所以….……….10分

在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，所以………11分

所以二面角A－SD－P的大小为．……………….…….…….12分

或：过A在平面SAP内作,且垂足为H,在平面SAD内作,且垂足为E,连接HE，平面SAP。平面SPD…………7分

∴HE为AE在平面SPD内的射影，∴由三垂线定理得

从而是二面角A－SD－P的平面角……………………………….9分

在中,，在中,，

.        ………………………………….11分

即二面角的大小为……………………………12分

解法二：因为底面，

所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………………………1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1

建立空间直角坐标系(如图)

由已知，P为BC中点.

于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)

                                ……..….2分

（1）易求得,

，..………….…....3分

因为，=0。

所以，

由于AP∩SP=P，所以平面SAP          ………….……………..….…5分

（2）设平面SPD的法向量为

由,得 解得，

所以                     ……………….…………….……….8分

又因为AB⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，易得…9分

所以     ….………………….11分

所求二面角的大小为.  ……………….……….…… 12分