Question

如图，椭圆为椭圆的左、右顶点．

（1）设为椭圆的左焦点，证明：当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时，取得最小值与最大值；

（2）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为l，求椭圆的标准方程；

（3）若直线与（2）中所述椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且满是，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．

Answer

 【解析】
（1）设．

对称轴方程．由题意恒成立，                        （2分）

在区间上单凋递增，                                （3分）

        ∴当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时取得最小值与最大值．

（注：这里用椭圆第二定义根简单直观）

（2）由已知与（1）得：，

，                                  （5分）

∴椭圆的标准方程为．                                 （6分）

（3）设，联立

得．                             （7分）

则

又，（8分）

∵椭圆的右顶点为，

                                         （9分）

        解得：，且均满足，           （10分）

        当时，的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾．

当时，的方程为，直线过定点（，0），    （11分）

∴直线过定点，定点坐标为（，0）．                           （12分）