Question

已知，其中是自然常数，

（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；

（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，；

（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是2，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

 （Ⅰ），           ……1分

∴当时，，此时单调递减;

当时，，此时单调递增 

∴的极小值为                               ……3分

（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，

∴ ，                               ……4分

令，，当时，，在上单调递增∴

∴在（1）的条件下，                             ……6分

（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值2，    

① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.  ……8分 

②当时，在上单调递减，在上单调递增  

，，满足条件.                     ……10分

③ 当时，在上单调递减，，（舍去）.所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值2.                                                                 ……12分