Question

 如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，，点E在PD上，且PE：ED=2：1。

   （I）证明：平面ABCD；

   （II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小。

   （III）在棱DC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论

Answer

 （I）证明：因为底面ABCD是菱形，

    所以AB=AD=AC=a，

    在

    知

    同理，

   （II）【解析】
作EG//PA交AD于G，

    由

    知

    作

    又PE：ED=2：1

    所以

    从而

   （III）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图。

    由题设条件，相关各点的坐标分别为

    所以

    设点F是棱PC上的点，

    ，

    其中

    则

    令得

    即

    解得

    即时，

    共面。

    又平面AEC，所以当F是棱PC的时，BF//平面AEC。

    解法二  当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC。证明如下：

    证法一  取PE的中点M，连结FM，则FM//CE。①

    由，知E是MD的中点。

    连接BM、BD，设

    则O为BD的中点。

    所以MB//OE。  ②

    由①、②知，平面BFM//平面AEC。

    证法二

    因为

    所以共面。

    又平面AEC，从而BF//平面AEC。