Question

 （08年北京20）

数列满足，（），是常数．

   （Ⅰ）当时，求及的值；

   （Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

   （Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．

Answer

 【解析】
（Ⅰ）由于，且．

所以当时，得，

故．

从而．

（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：

由，得

，，．

若存在，使为等差数列，则，即，

解得．

于是，．

这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．

（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，．

所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．

因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，

记，则满足

．

故的取值范围是．