Question

 设函数.

（Ⅰ）求函数f (x)在点(0, f (0))处的切线方程；

（Ⅱ）求f (x)的极小值；

（Ⅲ）若对所有的，都有成立，求实数a的取值范围.

Answer

 (Ⅰ)∵f(x)的定义域为，又∵=2ln(2x+1)+2,

∴，切点为O(0,0)，∴所求切线方程为y=2x. …………2分

(Ⅱ) 设=0，得ln(2x+1)=－1，得；

>0，得ln(2x+1)>－1，得；

<0，得ln(2x+1)<－1，得；

则.…………6分

 (Ⅲ)令，

则=2ln(2x+1)+ a=2[ln(2x+1)+1－a].

令=0，得ln(2x+1)= a－1，得；

  >0，得ln(2x+1)> a－1，得；

  <0，得ln(2x+1)< a－1，得；

（1）当a≤1时，，∵，

∴对所有时，都有，于是≥0恒成立，

∴g(x)在[0,+∞)上是增函数.

又g(0)=0,于是对所有,都有g(x)≥ g(0)=0成立.

故当a≤1时，对所有的，都有成立.

（2）当a>1时，，∵，

∴对所有，都有<0恒成立，

∴g(x)在上是减函数. 

又g(0)=0,于是对所有,都有g(x)≤ g (0)=0.

故当a>1时，只有对仅有的，都有.

即当a>1时，不是对所有的，都有.

综合（1），（2）可知实数a的取值范围(－∞,1.……………………12分