Question

 如图，在正三棱柱中，分别是的中点,．

    （Ⅰ）在棱上是否存在点使？如果存在，

试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；

   （Ⅱ）求截面与底面所成锐二面角的正切值；

   （Ⅲ）求点到截面的距离．

Answer

 【解析】
解法一：（Ⅰ）存在且为的中点，连接,

∵分别是的中点, ∴．           （3分）

（Ⅱ）延长与的延长线交于，连接，

则为截面与底面所成二面角的棱，

    取的中点，连,则．

∵,∴为的中点．

由题设得,且,

作于,则,连,

又,

由三垂线定理可知，

∴为截面与底面所成的锐二面角．                               （6分）

在中，,∴．          （8分）

（Ⅲ）在中,得，

在中,得,

由，

，解得，即到截面距离为．    （12分）

解法二：（Ⅱ）如图，以为坐标原点，

的方向分别作为轴的正方向建立空间直角坐标系,

则

；

∵分别是

的中点，∴,

,；

设平面的法向量为，

由得，

解得，取得；

又平面的一个法向量为,                                （6分）

设截面与底面所成锐二面角为，

则，

∴，得．

故截面与底面所成锐二面角的正切值为2．   （8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一个法向量为，；

设点到截面的距离为，

由向量的投影得，

故点到截面的距离为．                                     （12分）