Question

 下图是一个三角形数阵．从第二行起每一个数都等于它肩上两个数的和，第行的第一个数为．

   （Ⅰ）写出与的递推关系，并求；

   （Ⅱ）求第行所有数的和；

   （Ⅲ）求数阵中所有数的和

；

并证明：当时，

．

Answer

 【解析】
（Ⅰ） 由题意得，

，

由以上归纳可得：，                （2分）

∴，

∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，

∴ ，∴．                （4分）

（Ⅱ） 由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，

且公差依次为：1，2， ，…，，…

第行的首项为，项数为，公差为

∴

            （7分）

当时，符合上式；

当时，由排布规律知，也符合上式；

∴．                    （8分）

（Ⅲ）

令                      （1）

        （2）

得

∴

∴（ （12分）

又

∴当时，

又

∴（当且仅当时取等号）．

∴当时,．                                               （14分）