Question

已知数列满足：，且对一切，有，其中为数列的前项和．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：．

Answer

 【解析】

（Ⅰ）法一：归纳得，然后用数学归纳法证明（略）．

法二：由条件得………①

所以………②

①—②得，则……………2分

所以，又，

所以…………③

则…………④

③—④得，从而……………2分

又由已知易得，所以数列是以首项为，公差为1的等差数列

所以……………5分

（Ⅱ）证明：由第（1）问的解答可知，则

令，则

则当时，，所以在上单调递增；

      当时，，所以在上单调递减

故在处取得极大值

所以当时，，即……………7分

则当，时，，则有

又当，时，恒有，则有

两式相乘有……………9分

于是

                                                                        ……………12分