Question

 （注意：在试题卷上作答无效）

    设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上．

   （Ⅰ）求及数列的通项公式；

   （Ⅱ） 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），（，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

   （Ⅲ）令（），求证：．

Answer

 【解析】
（1）因为点在函数的图象上，

    故，所以．令，得，所以；

    令，得， ；令，得，．

    由此猜想：．

    用数学归纳法证明如下：

    ① 当时，有上面的求解知，猜想成立．

    ② 假设时猜想成立，即成立，

    则当时，注意到，

    故，．

    两式相减，得，所以．

    由归纳假设得，，故．

    这说明时，猜想也成立．

    由①②知，对一切，成立 ．  （4分）

    另【解析】
因为点在函数的图象上，

    故，所以    ①．

    令，得，所以；

    时    ②

    时①－②得

    令，

    即与比较可得

    ，解得．

    因此

    又，所以，从而．

   （2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，  故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

    所以．又=22，所以=2010  （9分）

   （3）有（1）中知，∴，

    当时，；

    当时，

    显然

    而（）

    ． （14分）