Question

已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直．

(1) 求实数的值；

(2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值；

(3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？

Answer

 【解析】
（1）当时，，………………………………1分

由题意得：，即，     ……………………3分

解得：。        ……………………………………………………4分

（2）由（1）知：

①当时，，

解得；解得或

∴在和上单减，在上单增，

由得：或， ……………………………5分

∵ ，

∴在上的最大值为。                ……………………………6分

②当时，，

当时，；当时，在单调递增；

∴在上的最大值为。                 ……………………………8分

∴当时，在上的最大值为；

当时，在上的最大值为。           …………………9分

（3）假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且。

∵是以为直角顶点的直角三角形

∴，即 （*）      …………………10分

是否存在等价于方程（*）是否有解。

①若，则，代入方程（*）得：，

即：，而此方程无实数解，从而，    …………………11分

∴，代入方程（*）得：，

即：，             …………………………………………12分

设，则在恒成立，

∴在上单调递增，从而，则的值域为。

∴当时，方程有解，即方程（*）有解。

∴对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。…………………………14分