Question

 已知椭圆的一条准线为，且与抛物线有相同的焦点．  

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点是该椭圆的左准线与轴的交点，是否存在过点的直线与椭圆相交于、两点，且线段的中点恰好落到由该椭圆的两个焦点、两个短轴顶点所围成的四边形区域内（包括边界）？若存在，求出直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．  

Answer

 【解析】
（Ⅰ）依题意，易知椭圆的方程为．     .              …………4分

（Ⅱ）椭圆的左准线方程为，点P的坐标，

假设存在直线符合题意，其斜率显然存在，设直线的方程为．            ………5分

设点的坐标分别为线段的中点为，  

将代入椭圆，得.……① ………6分

由解得.……②             …………7分

，于是，  

因为，所以点不可能在轴的右边，           …………9分

又直线，方程分别为，则必有  

 即亦即．   …………11分

解得，此时②也成立．                         …………12分