Question

如图，直角坐标系xOy中，Rt△ABC中∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12.若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点。

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点P（m,0）（m为非零常数）的直线L与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由。

 

Answer

 【解析】
（1）设双曲线E的方程为（a>0, b>0），则B(-c,0)，D(c,0)，C（c,0）

由BD=3DC，得c+a=3(c-a)，即c=2a

∴   解之得a=1, ∴c=2,b=

∴双曲线E的方程为

(2)如图,设在x轴上存在定点G(t,0),使

设直线l的方程为x-m=ky, M(x1,y1)、N(x2,y2)

由，得y1+λy2=0，即①

∵，，

∴

即ky1+m-t=λ(ky2+m-t) ②

把①代入②得   2ky1y2+(m-t)(y1+y2)=0③

把x-m=ky代入并整理得(3k)y2+6kmy+3(m)=0,

其中3k≠0且△＞0

即且3k2+m2＞1

，代入③得

化简得kmt=t.当时，上式恒成立。

因此，在x轴上存在定点，使。