Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .

(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.

Answer

 【解析】
(I) 作DH⊥EF于H，连BH，GH.

由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH.

又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，

BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，

而BD平面DBH，∴ EG⊥BD.……… 6分

(II).作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM.

由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角.

由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝.又DH＝2

∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-

因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝

而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角

故二面角D-BF-C的余弦值为－ …………………12分