Question

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形BC∥AD，∠DAB＝90°，AB＝BB₁＝4，BC＝3，AD＝5，AE＝3，F、G分别为CD、C₁D₁的中点.

（1）求证：EF⊥平面BB₁G；

（2）求二面角E－BB₁－G的大小.

Answer

 【解析】（1）连接FG ∵F、G分别为CD、C1D1的中点，∴FGCC1 从而FGBB1

∴B、B1、F、G四点共面.

连接BF并延长与AD的延长线交于点H.

∵F为CD的中点，且BC∥AD.

∴△HFD△BFC ∴DH＝BC＝3

∴EH＝DE+DH＝5. 又∵BE＝5，且F为BH的中点.

∴EF⊥BF，又∵BB1⊥平面ABCD，且EF平面ABCD内.

∴BB1⊥EF ∴EF⊥平面BB1GF. 从而EF⊥平面BB1G.

（2）二面角E－BB1－G的大小等于二面角F－BB1－E的大小

∵EF⊥平面FBB1 且EB⊥BB1 FB⊥BB1

即∠EBF为二面角F­－BB1－E的平面角

在△EFB中，EB＝5，EF＝. ∴

∴∠EBF＝ ∴二面角E－BB1－G的大小为

解法2：以A为坐标原点，AB为x轴，AA1为y轴，AD为Z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，3）、F（2，0，4）、G（2，4，4）、B（4，0，0）、B1（4，4，0）

（1）、、

∵，

∴EF⊥BB1，EF⊥B1G ∴EF⊥平面BB1G

（2）∵EF⊥平面BB1G ∴为平面BB1G的一个法向量

设平面EBB1的一个法向量为

则 解得，取

∴

∴二面角E－BB1－G的大小为