Question

 如图，在三棱柱中，侧面，

为棱的中点，已知，，  

，，求：

（1）异面直线与的距离；

（2）二面角的平面角的正切值.

Answer

 【解析】
解法一：（1）∵平面，∴

又∵为的中点，∴，而，且，∴为等边三角形。

∴，∴，

∴，∴，

∴是异面直线与的公垂线段。

∴异面直线与的距离为1。…………………………（6分）

（2）∵，∴…………………………（8分）

又∵，∴异面直线与所成的角即为二面角的大小。

∴即为所求。

又∵，…………………………（10分）

∴…………………………（12分）

解法二：（1）建立如图所示空间直角坐标系。

由于，，，      

，在三棱柱中有

，，，

，……………………（2分）

，∴，

故，即……………（4分）

又面，故。因此是异面直线与的公垂线段，

则，故异面直线与的距离为1。……………（6分）

（2）由已知有，，故二面角的平面角的大小为向量与的夹角。

因，…………………………（10分）

故，即…………………………（12分）