Question

 已知动圆过定点，且与直线相切，其中

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值时，直线恒过定点，并求出该点的坐标.

Answer

 【解析】
（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；                                             4分

（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①

（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点      8分

（2）当时，由，得==

将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即

所以直线恒过定点

所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.                                                     13分