Question

 （注意：在试题卷上作答无效）

已知椭圆的方程为，长轴是短轴的2倍，且椭圆过点，斜率为的直线过点，为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件．

（1）写出椭圆方程，并求点到直线的距离；

（2）若椭圆上恰好存在3个这样的点，求的值．

Answer

 【解析】
（1）由题意得  解得  ∴椭圆方程为：  …2分

直线的方程为，其一个法向量，设点B的坐标为，由及   得  

∴到直线的距离为   …………5分

（2）由（1）知，点B是椭圆上到直线的距离为1的点，即与直线的距离为1的二条平行线与椭圆恰好有三个交点。 设与直线平行的直线方程为

由得，即

………①

当时，………② ，    又由两平行线间的距离为1，可得………③

把②代入③得，即，，即，或                                      

当时，代入②得，代回③得或    

当，时，由①知

此时两平行线和与椭圆只有一个交点，不合题意；

当时，代入②得，代回③得或

当，时，由①知

此时两平行线和，与椭圆有三个交点，∴ …12分